Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на

Пусть _ корень многочлена, т.е. Разделим на, где степень меньше степени, которая равна Значит, степень равна, т.е. . Значит, . Так как, то из последнего равенства следует, что т.е. .

Обратно, пусть делит, т.е. . Тогда.

Следствие. Остаток от деления многочлена на равен.

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен можно разделить на линейный многочлен с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть и пусть, где. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

Число называется корнем кратности многочлена, если делит, но уже не делит.

Чтобы поверить, будет ли число корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на и т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.

Основная теорема . Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени имеет в C (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

где _ корни, т.е. во множестве C всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то:

где уже различные корни, _ кратность корня.

Если многочлен, с действительными коэффициентами имеет корень, то число также корень

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть и корни Тогда делится на и но так как у и нет общих делителей, то делится на прозведение.

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробью называется дробь где и _ многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде, где и - некоторые многочлены, а - правильная рациональная дробь.

Лемма 1. Если - правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена, т.е. и, то существует вещественное число и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если - правильная рациональная дробь, а число (и - вещественные,) является корнем кратности многочлена, т.е. и, и если, то существуют вещественные числа и и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.

Рациональные дроби вида, _ трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:

• · Для данной дроби пишется разложение, в котором коэффициенты считаются неизвестными;
• · После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты.

При этом если степень многочлена равна, то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени, т.е. многочлен с коэффициентами.

Число неизвестных также равняется: .

Таким образом, получается система уравнений с неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.

научная работа

Применение теоремы

Остановлюсь на рассмотрении некоторых примеров применения теоремы Безу к решению практических задач.

Следует отметить, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:

· найти все целые делители свободного члена;

· из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);

· левую часть уравнения разделить на (x-a);

· записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;

· решить полученное уравнение.

Найти остаток от деления многочлена x 3 -3x 2 +6x-5

на двучлен x-2.

По теореме Безу:

R=f(2)=2 3 -3*2 2 +6*2-5=3.

Ответ: R=3.

При каком значении a многочлен x 4 +ax 3 +3x 2 -4x-4 делится без остатка на двучлен x-2?

По теореме Безу: R=f(2)=16+8a+12-8- 4=8a+16.

Но по условию R=0, значит 8a+16=0, отсюда a=-2.

Ответ: a=-2.

При каких значениях a и b многочлен ax 3 +bx 2 -73x+102 делится на трёхчлен x 2 -5x+6 без остатка?

Разложим делитель на множители: x 2 -5x+6=(x-2)(x-3).

Поскольку двучлены x-2 и x-3 взаимно просты, то данный многочлен делится на x-2 и на x-3, а это значит, что по теореме Безу:

R 1 =f(2)=8a+4b-146+102=8a+4b-44=0

R 2 =f(3)=27a+9b-219+102=27a+9b-117=0

Решу систему уравнений:

8a+4b-44=0 2a+b=11

27a+9b-117=0 3a+b=13

Отсюда получаем: a=2, b=7.

Ответ: a=2, b=7.

При каких значениях a и b многочлен x 4 +ax 3 -9x 2 +11x+b

делится без остатка на трёхчлен x 2 -2x+1?

Представим делитель так: x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2

Данный многочлен делится на x-1 без остатка, если по теореме Безу:

R 1 =f(1)=1+a-9+11+b=a+b+3=0.

Найдём частное от деления этого многочлена на x-1:

X 4 +ax 3 -9x 2 +11x-a-3 x-1

x 4 -x 3 x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3)

(a+1)x 3 -(a + 1)x 2

(a-8)x 2 -(a-8)x

Частное x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3) делится на (x-1) без остатка, откуда

R 2 =f(1)=1+(a+1)*1+(a-8)*1+a+3=3a-3=0.

Решу систему уравнений:

a + b + 3 = 0 a + b =-3

3a - 3 = 0 a = 1

Из системы: a=1, b=-4

Ответ: a=1, b=-4.

Разложить на множители многочлен f(x)=x 4 +4x 2 -5.

Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена f(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу f(x) делится на (x-1) без остатка:

f(x)/(x-1)=x 3 +x 2 +5x+5, значит f(x)=(x-1)(x 3 +x 2 +5x+5).

Среди делителей свободного члена многочлена x 3 +x 2 +5x+5 x=-1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x 3 +x 2 +5x+5 делится на (x+1) без остатка:

X 4 +4x 2 -5 x-1 _x 3 +x 2 +5x+5 x+1

x 4 -x 3 x 3 +x 2 +5x+5 x 3 +x 2 x 2 +5

X 3 +4x 2 _5x+5

(x 3 +x 2 +5x+5)/(x+1)=x 2 +5, значит x 3 +x 2 +5x+5=(x+1)(x 2 +5).

Отсюда f(x)=(x-1)(x+1)(x 2 +5).

По следствию 7 (x 2 +5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается.

Ответ: x 4 +4x 2 -5=(x-1)(x+1)(x 2 +5).

Разложить на множители многочлен f(x)=x 4 +324.

f(x) корней не имеет, т.к. x 4 не может быть равен -324, значит, по следствию 7 f(x) на множители не раскладывается.

Ответ: многочлен на множители не раскладывается.

Составить кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2.

По следствию 3, если многочлен f(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень -2, то он делится без остатка на (x-4) 2 (x+2), значит:

f(x)/(x-4) 2 (x+2)=q(x), т.е.

f(x)=(x-4) 2 (x+2)q(x),

f(x)=(x 2 -8x+16)(x+2)q(x),

f(x)=(x 3 -8x 2 +16x+2x 2 -16x+32)q(x),

f(x)=(x 3 -6x 2 +32)q(x).

(x 3 -6x 2 +32) - кубический многочлен, но по условию f(x) - также кубический многочлен, следовательно, Q(x) - некоторое действительное число. Пусть Q(x)=1, тогда f(x)=x 3 -6x 2 +32.

Ответ: x 3 -6x 2 +32.

Решить уравнение x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0.

301; 2, 3, 5, 6, 10.

(x-2)(x 3 +5x 2 -3x-15)=0

(x-2)(x+5)(x 2 -3)=0

X 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 x-2

x 4 -2x 3 x 3 +5x 2 -3x-15

Ответ: x 1 =2, x 2 =-5, x 3,4 =.

Решить уравнение x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=0.

Посмотрев на уравнение, сразу можно сказать, что по следствию 4 оно имеет не более 6 корней уравнения.

12 1; 2; 3; 4; 6; 12.

X 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12 x-1

x 6 -x 5 x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12

10x 3 +16x 2 _x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12 x+2

10x 3 -10x 2 x 5 +2x 4 x 4 -5x 2 +6

6x 2 +6x _ -5x 3 -10x 2

6x 2 -6x -5x 3 -10x 2

x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12)=0

x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x+2)(x 4 -5x 2 +6)=0

x 4 -5x 2 +6=0 - биквадратное уравнение, x 1,2 =, x 3,4 =.

Ответ: x 1,2 =, x 3,4 =, x 5 =1, x 6 =-2.

Решить уравнение x 3 -5x 2 +8x-6=0.

X 3 -5x 2 +8x-6 x-3

x 3 -3x 2 x 2 -2x+2

x 3 -5x 2 +8x-6=(x 2 -2x+2)(x-3)=0

x 2 -2x+2=0 - квадратное уравнение, корней не имеет, т.к. D<0.

Ответ: x=3.

Решить уравнение 6x 3 +11x 2 -3x-2=0.

6x 3 +11x 2 -3x-2 x+2

6x 3 +12x 2 6x 2 -x-1

6x 3 +11x 2 -3x-2=(6x 2 -x-1)(x+2)=0

6x 2 -x-1=0 - квадратное уравнение, x 1 =Ѕ, x 2 =-?.

Ответ: x 1 =Ѕ, x 2 =-?, x 3 =-2.

Биография и труды Колмогорова А.Н.

Колмогоровы теоремы: 1. Теорема о нормированных пространствах (1934); 2. Теорема о применимости больших чисел закона (1928); 3. Теорема о применимости больших чисел усиленного закона (1930, 1933). 2.8...

Бипримарные группы

Допустим, что теорема неверна и группа --- контрпример минимального порядка. Пусть --- циклическая силовская -подгруппа в, а, где --- силовская 2-подгруппа в, --- ее инвариантное дополнение в. В силу леммы условие теоремы выполняется для...

Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2

Клеточные пространства

Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X. Доказательство. Обозначим через проектирование X Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия ft: АА, такая...

Максимальные факторизации симплектических групп

Теорема Для любого четного числа и любого поля группа проста за исключением группы, которая простой не является. Доказательство. 1) Исключительное поведение группы следует из. Будем предполагать поэтому, что в общем случае и при...

Научные достижения Пифагора

Задача №1 Решение: Д АВС - прямоугольный с гипотенузой АВ, по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,АВ2 = 82 + 62,АВ2 = 64 + 36,АВ2 = 100,АВ = 10. Ответ: АВ = 10 Задача №2 Решение: Д DCE - прямоугольный с гипотенузой DE, по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2,DC2 = DE2 - CE2,DC2 = 52 - 32...

Применение производной при решении некоторых задач

Пример 1. Доказать теорему: если уравнение (1) имеет положительный корень, то уравнение (2) также имеет положительный корень и притом меньший...

Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя

Получаем где - любая нечетная непрерывная функция. Наряду с дифференциальной системой (1) рассмотрим возмущенную систему (2), где - любая непрерывная нечетная функция. Известно по ...

Спектр графа

Ряд фундаментальных свойств спектров графов (или, в более общем случае, мультиорграфов) можно установить на основе некоторых теорем теории матриц. В этом параграфе представлены лишь наиболее важные матричные теоремы...

Теорема Силова

Пусть G - группа и P - другая группа. Пусть каждому элементу aG сопоставлен некоторый элемент из S, то есть, дано отображение G и S. Отображение ц называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S...

Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций

Теорема 1. Производная эллиптической функции есть также функция эллиптическая. В самом деле, дифференцируя соотношение (1), имеющее место при любом z, получаем Таким образом, производная f(z) имеет те же периоды 2 и 2, что и первоначальная функция...

Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании

Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей: Теорема Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений...

Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток

Лемма1. Конгруэнции образуют открытое семейство. Доказательство. Необходимо показать, что для любых элементов множество открыто в. Пусть, тогда и для некоторого. Если - произвольный простой идеал из, то, и поэтому...

Цилиндрические функции

С помощью теоремы Коши об интегралах от функций комплексного переменного можно получить из интеграла Пуассона еще одно интегральное представление, весьма важное для теории функций Бесселя...

Экстремальная задача на индексационных классах

В случае утверждение теоремы очевидно. Пусть. Лемма 3. Для любого ФР и любой точки существует ФР такая, что v(t)(t) (v(t)(t)) в некоторой окрестности точки. Доказательство. Если не существует такого i, 0in+2, что n-1 четно и Yi(0)...

Теорема

Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$ .

Следствия из теоремы Безу

Число $a$ - корень многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится без остатка на двучлен $x-a$ .

Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена $P(x)$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения $P(x)=0$ .

1. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
2. Пусть $a$ - целый корень приведенного многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого $k$ число $P(k)$ делится на $a-k$ .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше: если $P(a)=0$, то заданный многочлен $P(x)$ можно представить в виде:

$$P(x)=(x-a) Q(x)$$

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена $Q(x)$, степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни заданного многочлена.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Найти остаток от деления многочлена $f(x)=3 x^{2}-4 x+6$ на двучлен $(x-1)$

Решение. Согласно теореме Безу искомый остаток равен значению многочлена в точке $a=1$ . Найдем тогда $f(1)$, для этого значение $a=1$ подставим в выражение для многочлена $f(x)$ вместо $x$ . Будем иметь:

$$f(1)=3 \cdot 1^{2}-4 \cdot 1+6=3-4+6=5$$

Ответ. Остаток равен 5

Пример

Задание. С помощью теоремы Безу доказать, что многочлен $f(x)=17 x^{3}-13 x^{2}-4$ делится на двучлен $x=1$ без остатка.

Решение. Указанный многочлен делится на заданный двучлен без остатка, если число $x=1$ - корень данного многочлена, то есть имеет место равенство: $f(1)=0$ . Найдем значение многочлена в точке $x=1$ .

Теорема Безу , невзирая на кажущуюся простоту и очевидность, является одной из базовых теорем теории многочленов . В данной теореме алгебраические характеристики многочленов (они позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными характеристиками (которые позволяют рассматривать многочлены как функции).

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на многочлен - это .

Коэффициенты многочлена лежат в неком коммутативном кольце с единицей (к примеру, в поле вещественных либо комплексных чисел).

Теорема Безу - доказательство.

Делим с остатком многочлен P(x) на многочлен (x-a) :

Исходя из того, что deg R(x) < deg (x-a) = 1 - многочлен степени не выше нуля. Подставляем , так как , получаем .

Но наиболее важна не именно теорема, а следствие теоремы Безу:

1. Число - корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен x-a .

Исходя из этого - множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения x-a .

2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (когда старший коэффициент равен единице - все рациональные корни целые).

3. Предположим, что - целый корень приведенного многочлена P(x) с целыми коэффициентами. Значит, для любого целого число делится на .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать дальше корни многочлена, степень которого уже на 1 меньше: если , то данный многочлен P(x) будет выглядеть так:

Теорема Безу примеры:

Найти остаток от деления многочлена на двучлен .

Теорема Безу примеры решения:

Исходя из теоремы Безу, искомый остаток соответствует значению многочлена в точке . Тогда найдем , для этого значение подставляем в выражение для многочлена вместо . Получаем:

Ответ : Остаток = 5.

Схема Горнера.

Схема Горнера - это алгоритм деления (деление схемой Горнера) многочленов, записываемый для частного случая, если частное равно двучлену .

Построим этот алгоритм:

Предположим, что - делимое

Частное (его степень, вероятно, будет на удиницу меньше), r - остаток (т.к. деление осуществляется на многочлен 1-ой степени, то степень остатка будет на единицу меньше, т.е. нулевая, таким образом, остаток это константа).

По определению деления с остатком P(x) = Q(x) (x-a) + r . После подстановки выражений многочленов получаем:

Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях, после чего выражаем коэффициенты частного через коэффициенты делимого и делителя:

Удобно вычисления сводить в такую таблицу:

В ней выделены те клетки, содержимое которых участвует в вычислениях на очередном шаге.

Схема Горнера примеры:

Пусть надо поделить многочлен на двучлен x-2 .

Составляем таблицу с двумя строками. В 1 строку выписываем коэффициенты нашего многочлена. Во второй строке будем получать коэффициенты неполного частного по следующей схеме: в первую очередь переписываем старший коэффициент данного многочлена, далее, дабы получить очередной коэффициент, умножаем последний найденный на а=2 и складываем с соответствующим коэффициентом многочлена F(x) . Самый последний коэффициент будет остатком, а все предыдущие - коэффициентами неполного частного.

Класс: 11

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

• способствовать развитию навыков деления многочлена на многочлен и использованию схемы Горнера;
• закрепить навыки работы в электронных таблицах OpenOffice.org Calc;
• организовать деятельность учащихся по восприятию, осмысливанию и первичному запоминанию новых знаний;
• разобрать и доказать теорему Безу при решении проблемной ситуации: можно ли разложить многочлен третьей степени на множители;
• рассмотреть использование теорему Безу для решения уравнений высших степеней;
• содействовать развитию логического мышления, внимания, речи и умения работать самостоятельно.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку, компьютерный класс.

«Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше рассуждать, чем заучивать».
Декарт (1596 -1650). Французский математик, физик, филолог, философ.

Ход урока

I . Организационный момент

Наша задача сегодня в совместной деятельности подтвердить слова Декарта (слайд 1). Тема нашего урока (слайд 2) «Теорема Безу» настолько значима, что даже используется в заданиях ЕГЭ и различных олимпиадах. Теорема Безу облегчает решение многих заданий, содержащих уравнения высших степеней. К сожалению, она изучается только на профильном уровне.

II . Возникновение проблемной ситуации

На этом уроке мы научимся решать уравнения высших степеней, а алгоритм решения выведем сами.

Решить уравнение: x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0 (Слайд 3). Возникает проблема: Мы понимаем, что было бы удобно представить левую часть уравнения в виде произведения, и так как произведение равно нулю, то приравнять к нулю каждый множитель. Для этого надо разложить многочлен 3-ей степени на множители. Но как? Можно ли сгруппировать или вынести общий множитель за скобку в нашем случае? (Нет).

III . Актуализация опорных знаний

Вспомним, как разложить на множители многочлен х 2 - 5х - 6? (Слайд 4).

(По формуле разложения на множители квадратного трехчлена:

ах 2 + bх + с = a(x – x 1)(x-x 2), где х 1 и х 2 корни трехчлена).

Найдите корни трехчлена двумя способами. Какими?

(по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета).

Решают на доске от каждой группы по одному ученику. Остальные учащиеся в тетрадях. Получили: х 2 - 5х - 6 = (х - 6) (х + 1).

Это значит, что трехчлен делится на каждый из двучленов: х – 6 и х + 1.

Обратите внимание на свободный член нашего трехчлена и найдите его делители (±1, ±2, ±3, ±6).

Какие из делителей являются корнями трехчлена? (-1 и 6)

Какой вывод можно сделать? (Корни трехчлена являются делителями свободного члена).

IV . Выдвижение гипотезы

Так какой же одночлен поможет подобрать корни многочлена?

Р(х) = x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0 ?

(Свободный член).

Выпишите его делители: ±1; ±2; ±4.

Найдите значения многочлена для каждого делителя. С помощью электронных таблиц и непосредственно:

1 группа вычисляет в тетради, вторая за компьютерами в OpenOffice.org Calc.

Р(1)= -3
Р(-1)=7
Р(2)=-8
Р(-2)=0
Р(4)=12
Р(-4)=-68

(При вычислении в электронных таблицах в ячейку В2 ученики вводят формулу: =А1^3-2*A1^2-6*A1+4. С помощью маркера автозаполнения получают значения многочлена во всем столбце).

Какой из делителей является корнем многочлена? (-2)

Таким образом, один из множителей в разложении будет х-(-2) = x + 2.

Как найти другие множители?

(Разделить «в столбик» на двучлен х + 2 )

А как еще можно? (по схеме Горнера). (Слайд 5)

Что такое схема Горнера? (Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда делитель равен двучлену x–a ).

Выполняем деление: первая группа «в столбик», вторая – по схеме Горнера.

Разделили без остатка.

Вернемся к уравнению: x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 - квадратное уравнение. Решите его:

D 1 = 4 – 2 = 2;

Ответ: -2, .

А мог получиться остаток при делении? Ответим на этот вопрос позднее. А сейчас назовите значение многочлена при х = - 2. (Значение равно нулю).

Прошу обратить ваше внимание, что x = - 2 является корнем многочлена и остаток от деления многочлена на х-(-2) равен 0.

Рассмотримх=1 - не является корнем уравнения.

Попробуем разделить многочлен на х-1 . Вторая группа выполняет деление «в столбик». Первая – по схеме Горнера дополняет таблицу ещё одной строкой.

Итак, x 3 - 2x 2 - 6x + 4 = (х – 1)∙(x 2 - х – 7) – 3.

Отметим, что x=1 не является корнем многочлена и остаток от деления многочлена на (х-1) равен значению многочлена при х=1.

Вот и ответ на вопрос об остатке. Да, остаток получился, при таком значении х, которое не является корнем многочлена.

Давайте продолжим схему Горнера для остальных делителей свободного члена. Теперь пусть первая группа вычисляет за компьютером, а вторая в тетрадях.

V . Доказательство гипотезы

(Слайд 6) Вы заметили закономерность об остатке. Какую? (остаток получился, при таком значении х, которое не является корнем многочлена).

А давайте запишем эту закономерность в общем виде.

Пусть Р(х) - многочлен, а - некоторое число.

Докажем утверждение: Остаток от деления Р(х) на (x - а) равен Р(а).

Доказательство. Разделим Р(х) c остатком на (x - а).

Получим Р(х)= (x - а)Q(х) + R; по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени (x - a), т.е. меньшую 1. Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях R на самом деле является числом – нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство Р(х)= (x - а)Q(х) + R значение x = a, мы получим Р(a)= (a - а)Q(х) + R, P(a) = R, так что действительно R = P(a).

Эту закономерность отметил и математик Безу.

Сообщение ученицы

(Слайд 7) Этьенн Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьенна Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений.

В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.

Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный "Курс математики", написанный им в 1764-69 годах.

Безу развил метод неопределённых множителей. В элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Именем ученого названа одна из основных теорем алгебры.

Следствие

Какой должен быть остаток, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а)? (равен 0).

Получаем следствие из теоремы Безу: Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0.

VI . Усвоение изученного

(Слайд 8) Решить уравнение: х 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0 .

Целые корни многочлена Р(х) = х 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть числа -1, 1, 3, -3.

Подберем корень по схеме Горнера:

VII . Итог: Итак, что дает нам Теорема Безу? (Слайд 9) Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x - а)Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни многочлена.

← Вернуться